INRIA-MINGuS
Articles publiés
G. Beck, D. Lannes, FREELY FLOATING OBJECTS ON A FLUID GOVERNED BY THE BOUSSINESQ EQUATIONS, Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Linéaire 39 (2022), no. 3, pp. 575–646. DOI 10.4171/AIHPC/15
L'étude mathématique des structures solides flottantes à la surface de l'eau contribue à une meilleure compréhension du potentiel énergétique des vagues. Il est ici question d'un solide partiellement immergé en eaux peu profondes qui se meut grâce au mouvement des vagues. Nous avons étudié (modélisation, caractère bien posé, estimation uniforme par rapport à la dispersion...) ce couplage fluide-solide dans le cas d'un système général (Boussinesq-Abbott pour les vagues, Newton avec forces de pression pour le solide) mais aussi dans des cas particuliers où nous sommes parvenus à donner une EDO régissant le mouvement du solide sans avoir eu besoin de résoudre les EDPs liées au fluides. L'une des situations particulière en question est celle du retour à l'équilibre où le solide est initialement lâché hors de sa position à l'équilibre sur un fluide au repos. Ce cas particulier, dans le régime linéaire, fait apparaitre des équations de transport non-locales en temps et avec condition de bords. Ce type d'équation, intéressant en soi, a été lui aussi était étudié (temps long, régularité...).
A. Beni-Hamad, G. Beck, S. Imperiale, P. Joly, An efficient numerical method for time domain electromagnetic wave propagation in co-axial cables, Computational Methods in Applied Mathematics, 2022
Il est ici question d'une méthode numérique pour simuler les équations 3D de maxwell le long d'un câble co-axial dans le but de valider numériquement l'utilisation d'un modèle 1D simplifié de propagation. La finesse du câble suggère d'utiliser des éléments finis "allongés" qui prennent la forme de "prismes" dont les dimensions transverses doivent être bien plus petite que la finesse du câble et la dimension longitudinal plus petite que la longueur d'onde typique des ondes envoyées dans le câble. Une discrétisation temporelle hybride, implicite dans les directions spatiales transverses et explicite dans la dimension longitudinale, est adoptée.
La résistance d'un câble est ici modéliser à partir de l'effet de peau. Ce phénomène est dû au fort contraste de conductivité entre la partie diélectrique et la partie métallique du câble. L'effet de peau se caractérise par la présence de couches minces dans les parties conductrices qui jouxtent la partie diélectrique dans laquelle se concentre toute l'énergie électromagnétique des conducteurs. Nous avons proposé une analyse asymptotique multi-échelles des équations de Maxwell qui prend aussi bien en compte la "finesse" du câble, petite dimension transverse par rapport à la longueur du câble, que la "petitesse de la profondeur de peau", épaisseur des couches minces. Cette analyse a mené à la construction de conditions aux bords des conducteurs de type GIBC (general impedance boundary condition). Le nouveau modèle 1D qui en est dérivé fait apparaitre une dérivée en temps fractionnaire. Notons aussi que dans les conducteurs, les formules de reconstruction des champs électromagnétiques font apparaitre une équation de la chaleur.
Un modèle 1D de la propagation des ondes électromagnétiques dans des fins câbles multi-conducteurs est dérivé des équations de Maxwell 3D par analyse asymptotique. Celui-ci généralise le modèle RLCG classique en prenant en compte la présence de pertes dans le diélectrique, des défauts géométriques ainsi que l'inhomogénéité des paramètres physiques. Ce modèle 1D décrivant le long du câble la propagation des tensions et du courants associées à chaque conducteurs fait apparaitre des opérateurs non locaux en temps. Des formules de reconstruction des champs électromagnétiques à partir des tensions et courants ont été données. Nous avons porté une attention particulière à l'étude de la matrice LC (représentant les vitesses de propagation de chaque courant et potentiels électriques) et à la mise en avant des cas où elle est R-diagonalisable.
Article pré-publié
Gabriel B. Apolinário, Geoffrey Beck, Laurent Chevillard, Isabelle Gallagher, Ricardo Grande. A Linear Stochastic Model of Turbulent Cascades and Fractional Fields. 2023
Turbulent cascade characterizes the transfer of energy injected at a large scale by a random excitation to small scales. In hydrodynamics, when the Reynolds number is large, the velocity field becomes irregular and the rate of energy dissipation remains bounded from below even if the fluid viscosity tends to 0. A mathematical description of the turbulent cascade is a very active research topic since the pioneer work of Kolmogorov in hydrodynamic turbulence and work of Zakharov in wave turbulence. In both case, it exhibit a power law. Turbulent cascade was for a long time associated with nonlinearity but the work of L. Saint-Raymond and Y. Colin de Verdière have shown that this loss of regularity can also take place for a linear equation with an operator of degree 0 in the context of internal waves. We build a 3D linear equation that mimics the phenomenology of the Kolmogorov cascade when the external force is a statistically homogeneous stochastic process. In long time the solution of our linear equation converges to a fractional white noise. This equation can be seen as a transport equation with respect to the Fourier variable..
Brevet
Commissariat à l'Energie Atomique et aux Energies Alternatives, 17/08/2017, Computer-implemented method for reconstructing the topology of a network of cables: US20200363462A1. G. Beck, Brevet FR1747712
La détermination du graphe sous-jacent d'un réseau inconnu est un enjeu industriel particulièrement important. Dans ce problème inverse, nous connaissons les caractéristiques des câbles (impédance et célérité), nous pouvons contrôler le signal d'entrée ainsi que la charge du générateur et nous pouvons avoir accès au réflectogramme (mesure du signal réfléchi au même endroit où il a été émis). Pouvons-nous reconstruire la topologie du graphe sous-jacent (nombre de noeuds et nombre de branches), les longueurs des câbles et les charges des sorties ? Un algorithme itératif cherchant à associer à chaque echo du réflectogramme une jonction ou une charge non encore identifiée a été proposé.
Articles de conférences (Proceedings longs en ayant valeur de papier dans la communauté IEEE)
G. Beck, Modelling defects on junction between coaxial cables in view of fault diagnostic, Progress In Electromagnetics research PIERS 2018, pp. 266-273. doi: 10.23919/PIERS.2018.8597922
Il est ici question de la propagation d'ondes électromagnétiques dans des réseaux complexes de câbles coaxiaux. Le but est de réduire ce problème 3D en un modèle 1D sur un graphe qui conserve la complexité de la structure 3D comme la présence de défauts. Cette réduction se fait via une dérivation par analyse asymptotique multi-échelles et est utilisé pour localiser des défauts sur de petites zones comme les jonctions.
G. Beck, Reconstruction of an unknown electrical network from their reflectogram by an iterative algorithm based on local identification of peaks and inverse scattering theory. International Instrumentation and Measurement Technology Conference IEEE I2MTC, 2018, pp. 1-6 doi: 10.1109/I2MTC.2018.8409731
Ici est repris l'algorithme itératif du brevet qui vise la reconstruire de la topologie d'un réseau électrique inconnu. Un autre algorithme est aussi présenté pour correctement discerner les échos d'un réflectogramme complexe car les réflexions multiples (qui résultent des jonctions, sorties ou défauts) peuvent mutuellement s'annuler, se renforcer, se combiner en se chevauchant... Simulations numériques et expériences viennent valider la méthode proposée.
M. Kafal, J. Benoit, G. Beck, A. Dupret, Constructing the topology of complex wire networks using reflectometry response and newton-based optimization algorithms. AUTOTESTCON, 2017 IEEE, 1-6
Proceedings
G. Beck, M. Bonnaud, J. Benoit. Recovering underlying graph for networks of 1D waveguides by reflectometry and transferometry, 14th International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Waves (Waves 2019 Vienna), august 2019.
G. Beck, Modelling defects on junction between coaxial cables in view of fault diagnostic, 2018 Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS-Toyama), 1-4 Aug. 2018.
G. Beck, A. Dupret, Iterative reconstruction of electrical network's graph based on their time domain reflectogram, 2018 Progress in Electromagnetics Research Symposium (PIERS-Toyama), 1-4 Aug. 2018.
Il est ici question de la dérivation d'un modèle simple de jonction entre câbles. Il est classique de considérer un graphe quantique où les câbles sont représenté par les branches et les jonctions par les noeuds. Les jonction sont couramment modéliser par les lois de Kirchhoff (loi des noeuds et loi des mailles). Pourtant, ces ces conditions de transmission ne prennent ne prennent pas en compte la complexité géométrique des jonctions. L'obtention de lois de Kirchhoff généralisées est obtenue par analyse asymptotique. Loin de la jonction, les champs électromagnétiques sont essentiellement transversalement polarisés et caractérisés par la propagation 1D de la tension et du courant électrique. Par contre, proche de la jonction, nous ne pouvons espérer un tel comportement. Une autre expression des champs électromagnétique a du être trouvé. La méthode dite des développements asymptotiques raccordés ici utilisé consiste à faire se rencontrer les différentes expressions des champs électromagnétiques des câbles et du voisinage de la jonction dans des zones communes nommées overlap. Le calcul des coefficients intervenant dans les nouvelles lois de Kirchhoff nécessitent des solutions d'EDPs posées sur des domaines non bornés qui peuvent se résoudre via l'utilisation de DtN.
G. Beck, S. Imperiale, P. Joly. A rigorous approach to the propagation of electromagnetic waves in co-axial cables, 11th International Conference on Mathematical and Numerical Aspects of Waves (Waves 2013), june 2-7, 2013
Quelques diapositives de présentations
G. Beck, D. Lannes, L. Weynans, Interactions vagues - structures flottantes dans le régime de Boussinesq, GdR Analyse des équations aux Dérivées Partielles, Journées Jeunes EDPistes, Lyon, 23-25 mars
G. Beck, Séminaire d'Analyse de l'IRMAR, Cours : interaction fluide structure, Séminaire technique :Perturbation dispersive de systèmes hyperboliques, Rennes 25/11/2022
G. Beck, D. Lannes, L. Weynans, Water-waves floating structure interactions, Huitième école EGRIN 25-28 mai 2021, (Prix EGRIN 2021)